Polígonos regulares y números metálicos

Cuando tratamos de establecer relaciones entre elementos de un pentágono regular (lados, diagonales...), nos tropezamos a menudo con . Ese es el motivo por el cual el pentágono regular y el número de oro guarden una relación tan estrecha.

Sin embargo, al establecer algunas de esas relaciones en un octógono regular es frecuente encontrarse con y si el polígono que analizamos es un hexágono regular, entonces quien nos aparecerá con frecuencia será . Por eso cabe sospechar que estos dos polígonos regulares estén relacionados con el número de plata (1 + ) y el de platino (1 + ), respectivamente. Vamos a investigarlo en esta aplicación.

Comenzaremos por el octógono regular. Usa los botones de la barra de navegación para avanzar o retroceder, observando con atención qué se hace en cada paso de la construcción.

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Preguntas

Como puedes ver, en la construcción partimos de un lado del octógono (más propiamente de los dos vértices de dicho lado). Para determinar el centro del octógono dibujamos inicialmente un cuadrado, a partir de dicho lado, y a continuación la circunferencia circunscrita a dicho cuadrado. Tomando como unidad el lado del octógono, ¿cuánto mide el radio de esta circunferencia?
Una vez determinado el centro del octógono, dibujamos la circunferencia circunscrita al mismo, que ya nos facilita la construcción del octógono. ¿Cuánto mide la apotema del octógono regular?
A continuación construimos el polígono estrellado (8,3), trazando las diagonales correspondientes (vamos uniendo los vértices saltando de 3 en 3). Tomando como unidad el lado del octógono, ¿cuánto mide cada una de las diagonales que trazamos?
Después de trazar todas las diagonales se ha formado otro octógono interior, que se ha resaltado. ¿Qué relación hay entre el lado de este octógono y el lado del octógono de partida? Tomando como unidad el lado del octógono interior, ¿cuánto mide el lado del octógono exterior?
¿Has encontrado el número de plata en alguna de las relaciones que has estudiado? En caso afirmativo, indica qué magnitudes guardan una proporción regida por el número de plata.

Vamos a analizar ahora el hexágono regular. Usa los botones de la barra de navegación para avanzar o retroceder, observando con atención qué se hace en cada paso de la construcción.

Para la construcción del hexágono regular partimos de los vértices de uno de los lados del mismo. Trazamos las dos circunferencias que tienen por centro uno de dichos vértices y pasan por el otro y el punto de intersección de dichas circunferencias nos proporciona el centro del hexágono. ¿Por qué?
Una vez construido el hexágono, observa los dos triángulos equiláteros que se forman al trazar las diagonales. Tomando como unidad el lado del hexágono, ¿cuánto mide el lado del triángulo equilátero inscrito?
Tomando como unidad el lado del hexágono rojo exterior, ¿cuánto mide el lado del hexágono azul, que determinan esos triángulos equiláteros?
¿Encuentras alguna relación entre las medidas que has obtenido en los ejercicios anteriores y el número de platino?

Utiliza la ventana en blanco de GeoGebra que tienes a continuación para repetir los procesos de construcción del octógono regular y del hexágono regular, respectivamente. Investiga otros procedimientos para la construcción de estos polígonos regulares y haz la construcción correspondiente. Haz clic sobre el botón después de cada construcción para volver a las condiciones iniciales.