Resulta sorprendente que los pitagóricos, que no admitían la existencia de más números que los naturales y los que se podían expresar en forma de fracción, tuvieran como símbolo emblemático la figura geométrica que más nos aproxima a la proporción áurea. El símbolo que identificaba a los pitagóricos era un polígono estrellado de 5 puntas, también llamado pentalfa o pentagrama místico, que es la figura que creamos al trazar todas las diagonales de un pentágono regular.

En esta aplicación vamos a tratar de descubrir la relación tan estrecha que existe entre el pentágono regular y una de las más populares magnitudes inconmensurables: el número de oro.

Preguntas

1. Haz clic sobre la casilla "Mostrar proceso de construcción". Mueve despacio el deslizador vertical y observa cada uno de los pasos de construcción. Vamos a analizar algunos de ellos. En todos los casos tomaremos como unidad de longitud la medida del segmento AB, lado del pentágono:

   1. ¿Cuál es la medida exacta del segmento HF?

   2. ¿Cuál es la medida exacta del segmento AI?

   3. ¿Cuánto mide exactamente la diagonal del pentágono?

   4. ¿Qué relación hay entre la longitud de la diagonal y la del lado del pentágono regular?

2. Haz clic en el botón Reiniciar. Activa la casilla "Mostrar pentagrama". ¿Qué figura describen las diagonales del pentágono? ¿Qué determinan las intersecciones de las diagonales entre sí?

3. Los puntos A, B y D determinan un triángulo isósceles. ¿Cuánto miden sus lados? ¿Y sus ángulos?

4. Activa la casilla "Pentágono interior". Los triángulos ABD y ABT son semejantes. ¿Cuál es la razón de semejanza entre ambos triángulos?

5. Teniendo en cuenta lo anterior, ¿son también semejantes los triángulos ABT y AST? En caso afirmativo, ¿cuál es en este caso la razón de semejanza?

6. Justifica que también son semejantes los triángulos ABC y ASB. ¿Cuál es la razón de semejanza entre los mismos?

7. Como habrás podido deducir en los ejercicios anteriores, el número de oro está estrechamente ligado al pentágono regular. Activa la casilla "Rectángulos". Mueve, uno tras otro, los deslizadores horizontales rojos que irán apareciendo. Describe lo que ha ocurrido.

8. Utiliza el procedimiento que has analizado en el ejercicio 1 para construir un pentágono regular en la página en blanco que tienes a continuación. Investiga otros procedimientos para la construcción de un pentágono regular.