La familia de los números metálicos, introducida por la matemática argentina Vera de Spinadel en 1994, está formada por las raíces positivas de las ecuaciones de la forma x² = p x + q, o su equivalente x² − p x − p = 0, donde p y q son números enteros positivos.

Algunos de estos números metálicos tienen nombre propio y son muy conocidos. El más famoso de todos ellos se obtiene cuando p = 1 y q = 1. En tal caso la ecuación que nos resulta es x² − x − 1 = 0, cuya raíz positiva es el número de oro:

En la siguiente tabla puedes ver los nombres de algunos de los números metálicos:

Algunas propiedades comunes de los números metálicos son fundamentales en campos actuales de la investigación sobre la estabilidad de sistemas físicos, desde la estructura interna del ADN hasta las galaxias astronómicas.

Preguntas

1. Observa la construcción. Fíjate que obtenemos en el eje horizontal el valor de un determinado número metálico a partir de la intersección de la recta que hemos dibujado y de la parábola. ¿Cuál es la ecuación de la parábola que aparece dibujada? ¿Y la de la recta?
   
   ¿Qué relación tienen esas gráficas con la ecuación que tratamos de resolver? ¿Por qué la intersección de la recta y la parábola nos permite calcular las raíces de la ecuación x²  – p x – q = 0?

2. Completa la siguiente tabla. Para ello resuelve la ecuación x² − p x − q = 0 para los valores de p y q que en cada caso corresponden y, a continuación, comprueba tus resultados con la aplicación:

3. ¿Cuál es la expresión general del número metálico de orden (p, q) que representamos como σ_p,q?

4. ¿Podemos expresar siempre en forma decimal el valor exacto de un número metálico? ¿Por qué?

5. ¿Qué relación debe existir entre p y q para que el número metálico σ_p,q sea un número entero?

6. Prueba que σ_4,4 = 2 σ_2,1

7. Halla la relación existente entre el número de bronce y el de níquel.

8. Prueba que: σ_4,1= Φ³